导数在高中数学中的地位和作用分析

摘要：导数及其应用是研究函数图像及其性质的重要工具，同时也是高等数学的基础内容，所以高考对该内容的考查仍然非常重视。本文重点分析了课标中关于导数内容的阐述；导数在高中数学新课程中的地位和作用；分析了导数在高考中的地位与作用等。

关键词：高中数学；新课标；地位；作用；分析

一、普通高中数学新课标关于导数内容的阐述

普通高中数学课程标准（实验）将导数部分的知识安排在了选修系列1和选修系列2中。其中，选修系列1是为学习文科的学生而设置的，这部分学生确定以人文、社会科学等方面为发展方向；选修系列2则是为理科学生设置的，这部分学生确定以理工、经济等方面为发展方向。现将普通高中数学新课标在导数部分的内容做相应的解读。

1.选修系列1及选修系列2中，导数部分安排的相同点

（1）不论是在选修系列1还是在选修系列2中，课程标准在引入导数概念时，均大量应用具体实例和实际背景。课程安排都是通过研究反应事物变化率的量，如效率、增长率、速度等实例，来反映和研究导数。通过引导学生由静态（平均变化率）到动态（瞬时变化率）的发现过程，从而告知学生函数在某一点处的瞬时变化率就是导数。引导学生学会用导数来研究函数和用导数来解决一些生活中的实际问题，进而体会导数部分所蕴含的无限逼近的动态的研究视角及思想内涵。这样处理的目的是帮助学生直观形象地理解导数的背景、思想和作用；

（2）对于导数概念及其几何意义的安排：都是结合对大量实例的分析，让学生体会平均变化率与瞬时变化率的关系，引导理解导数概念产生的实际背景，清楚瞬时变化率与导数概念的关系，体会导数的内涵及其思想。理解导数与函数图像在某一点处的切线的斜率的关系；

（3）在导数的运算方面：一方面引导学生能利用导数定义，推导出如求常数函数、部分简单幂函数的导数公式。另一方面，要求学生熟知基本初等函数的求导公式，并要求会用导数的四则运算法则求出部分简单函数的导数。对于导数公式表中的求导公式只要求会使用，不要求能推导；

（4）在导数的应用方面：均是结合实例，先利用数形结合的方法探索函数的单调性与导数符号的关系；能利用导数判断函数的单调性，或求函数的单调区间，会求最高不超过三次的一般多项式函数的单调区间、极大值、极小值以及在给定区间上的最大值、最小值；能够结合图象，准确地判断哪些点是极大值点，哪些点是极小值点；

（5）二者利用导数解决优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用方面，以及对数学文化的要求方面都是相同的。

2.选修系列1和选修系列2中，导数部分的安排的不同点

（1）课时安排方面有所不同，选修1约为16课时，选修系列2约为24课时；

（2）在导数的运算方面：选修2要求学生能求部分简单的复合函数（仅限于形如）的导数，而选修系列1中对此没有要求；

（3）选修2中增添了定积分与微积分基本定理的相关内容，而选修系列1对此没有要求。选修2通过实例及问题情境帮助学生了解定积分的实际背景；通过数形结合思想体会定积分的基本思想，并对定积分的概念作初步了解，能通过几何意义或微积分基本定理求积分值，或通过定积分求某曲边梯形的面积。

二、导数在高中数学新课程中的地位和作用

《普通高中数学课程标准(实验)》在选修系列1和选修系列2中都选择了导数及其应用。由此可以看出，导数的重要性不可低估。

    1.导数可以帮助学生更为精确地作出函数图像，研究函数的相关性质

在高中的必修阶段，学生已经学习了函数的概念、基本性质、基本初等函数模型及研究函数的基本方法，即数形结合的方法。通过研究函数性质就可以较为准确地画出函数的图像，反之，如果能比较准确地画出函数的大致图像，便能够很容易地得到函数的相关性质。

    2.导数可以帮助学生更好地掌握函数思想

导数部分是高中数学必修阶段有关函数内容的深化，当遇到一些用必修所学过的基本方法无法研究的函数时，这就需要一种更先进的工具来帮忙，这种工具便是导数，这也正是新课程的追求目标。在证明不等式，给出恒成立问题逆求参数最值或取值范围等问题中，我们都可以尝试通过构造新的函数模型，利用导数这一工具研究出新构建函数的性质，来解决相关问题。

    3.导数可以帮助学生在求切线问题时摆脱旧知识产生的负迁移

学生在学了直线与圆的位置关系后，很容易对求切线问题的认识产生负迁移，很容易定性地认为某曲线过某一点处的切线，与该曲线再也没有其他的公共点。通过学习导数的定义及导数的几何意义，采用无限逼近的思想，用割线的逐步逼近来寻求切线。学生通过导数中求切线的学习了解了无限逼近的思想，同时消除了之前学习切线问题时产生的负迁移的影响。

4.导数有助于学生学好其他学科

微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用。^[3] 学生学习了导数及其应用之后，在解决一些比较困难的物理问题时方法更加灵活，提高了在物理学科上的解题能力。

5.导数可以帮助学生培养更加深刻的思维能力

导数为研究函数的单调性提供了很有用的工具，研究函数单调性时，需要学生将导函数的图像特征与原函数的图像特征联系起来，将导函数值的正负变化与原函数单调性的变化建立对应关系，这对学生的思维又增加了一个维度，提出了更高层次的要求。

三、导数在高考中的地位和作用

导数是大学数学课程的基础，在高中阶段，也是研究函数的图像和性质的重要工具，因此，高考命题者非常重视对导数内容的考查，把导数的应用作为高考命题的重点和必考点，且常考常新。这既有利用导数判断函数的单调性，又有构造函数证明不等式、通过恒成立问题逆求参数最值或取值范围等问题。

导数试题可以很好地将所要考查有关函数知识以及分类讨论、数形结合、化归等思想方法融合同一个题目中，有利于对学生综合素养进行考查，利于培养学生良好的思维能力和解决问题的能力。

参考文献：

[1]傅海伦.数学新课程教学论[M].济南：山东教育出版社,2014.

[2]教育部基础教育司．数学课程标准研修[M]．北京：高等教育出版社，2004.